Γιολάντα Χριστοπούλου (1), Χρυσούλα Ελευθερίου(2)

Καθηγήτρια ΠΕ03, 1ο ΕΠΑΛ « Νίκανδρος Παπαϊωάννου» – Αριδαία (1), Καθηγήτρια ΠΕ03 , 1ο ΕΠΑΛ « Νίκανδρος Παπαϊωάννου» – Αριδαία (2)

yolanda@sch.gr (1), chryelefth@sch.gr (2)

Περίληψη

Στο παρακάτω άρθρο παρουσιάζεται ένα έργο eTwinning σχετικά με τα μαθηματικά και αναφέρεται στα πλεονεκτήματα που αποκομίζουν οι εκπαιδευτικοί και οι μαθητές από την συμμετοχή τους σε τέτοια έργα. Το έργο αυτό προωθεί την εφαρμογή καινοτόμων διδασκαλιών, ενισχύει τις τεχνολογικές δεξιότητες των μαθητών και εκπαιδευτικών, καθώς επίσης και την συνεργασία αναμεσά σε εκπαιδευτικούς και μαθητές από διάφορες ευρωπαϊκές χώρες, προωθώντας με τον τρόπο αυτό τη διαπολιτισμική εκπαίδευση. Το έργο παρουσιάζεται ως παράδειγμα επιτυχημένου έργου που προωθεί την ανακάλυψη και κατανόηση των μαθηματικών μέσω γραφικών παραστάσεων και εφαρμογής τους στην πραγματική ζωή. Οι μαθητές μελετούν και δημιουργούν έργα χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και, ειδικότερα, τις ιδιότητες της γεωμετρίας, εφαρμόζοντάς τα στην πραγματική ζωή. Οι δραστηριότητες αυτές συμβάλλουν στην ανάπτυξη των μαθηματικών δεξιοτήτων των μαθητών, της δημιουργικότητάς τους και της κριτικής σκέψης. Επιπλέον, ενθαρρύνουν τις δεξιότητες επικοινωνίας και συνεργασίας σε ομάδες και βοηθούν τους μαθητές να αναπτύξουν ψηφιακές δεξιότητες.

Λέξεις κλειδιά: eTwinning, συνεργατική μάθηση, μαθηματικά, GeoGebra

Εισαγωγή

Τα έργα στην διαδικτυακή πλατφόρμα eTwinning προσφέρουν στους εκπαιδευτικούς και κυρίως στους μαθητές την δυνατότητα εφαρμογής καινοτόμων μεθόδων κατά την διδακτική πράξη ενώ συμβάλλουν και σε μια πληρέστερη και πιο δημιουργική εκπαιδευτική διαδικασία που προωθεί νέες τεχνικές μάθησης. Η χρήση των Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνίας (ΤΠΕ) διευκολύνει μαθητές και εκπαιδευτικούς να αποκτήσουν και να εξελίξουν τις ήδη υπάρχουσες τεχνολογικές δεξιότητες τους (Camilleri, 2016).

Ένα από τα σημαντικότερα οφέλη των έργων αυτών, είναι να προάγουν τη συνεργασία ανάμεσα σε εκπαιδευτικούς και μαθητές που προέρχονται από διαφορετικές ευρωπαϊκές χώρες και συνεπώς διαφορετικά εκπαιδευτικά συστήματα. Κατά συνέπεια ενισχύεται η αμοιβαία κατανόηση, παράγεται καινοτόμο εκπαιδευτικό υλικό και δημιουργείται πρόσφορο έδαφος ώστε να τεθούν σε ισχύ οι αξίες της διαπολιτισμικής εκπαίδευσης (Camilleri, 2016).

Τα παραπάνω οφέλη γίνονται επίσης ορατά και στο έργο eTwinning Math Travelers. Καταλυτικό ρόλο για την υλοποίηση του έργου έπαιξε η διάδραση όλων, μέσω της δημιουργίας συνεργατικών ebooks, παρουσιάσεων και ερωτηματολογίων. Μάλιστα τα παραπάνω σε συνδυασμό με την ανταλλαγή εμπειριών τόσο σε συζητήσεις στο φόρουμ όσο και στα online meetings είχαν σαν αποτέλεσμα την επιτυχή έκβαση του έργου (Papadakis, 2017).

Σκοπός του έργου ήταν οι μαθητές να ανακαλύψουν και να αντιληφθούν την ομορφιά των μαθηματικών μέσω της ορθής χρήσης γραφικών παραστάσεων, της επιλογής και αποτύπωσης διαφόρων έργων τέχνης με ιστορική σημασία καθώς και της πιθανής εφαρμογής των τελευταίων στην φύση. Κατά την διάρκεια του έργου Οι μαθητές μελέτησαν και δημιούργησαν εργασίες, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και ιδιαίτερα τις ιδιότητες της γεωμετρίας, με χρήση νέων τεχνολογιών και την εφαρμογή τους στην πραγματική ζωή.

Η διάρκεια του προγράμματος ήταν από Σεπτέμβριο – Μάιο 2021-2022. Επιτευχθήκαν οι παρακάτω στόχοι:

η ανάπτυξη των μαθηματικών δεξιοτήτων,
η ανάπτυξη της δημιουργικότητας των μαθητών και της κριτικής τους σκέψης,
η ανάπτυξη των δεξιοτήτων επικοινωνίας και συνεργασίας σε ομάδες,
η ανάπτυξη ψηφιακών δεξιοτήτων.

Δράσεις μαθητών

Κατασκευή της σημαίας κάθε χώρας με το λογισμικό Geogebra και συζήτηση στο forum για τα χρώματα της κάθε σημαίας αναδεικνύοντας με τον τρόπο αυτό την διαπολιτισμική διάσταση και τον αλληλοσεβασμό. https://www.geogebra.org/m/fsksfpyn#material/c8yr6uzc

Συμμετοχή όλων των συνεργατών στην Ευρωπαϊκή εβδομάδα Code Week, Οκτώβριος 9-24/2021 με θέμα την δημιουργία διάφορων σχημάτων pixels art σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. https://www.geogebra.org/m/a9x52ch7

Σχήμα 1: Pixels art σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.

Το πεδίο της γεωμετρίας έχει την εξαιρετική ιδιότητα να πλαισιώνεται από έννοιες που είναι ικανές να διεγείρουν την φαντασία και την δημιουργικότητα των μαθητών. Γενικότερα θεωρούμε ότι η γεωμετρία δεν έχει ουσιαστικά καμία σχέση με τον κόσμο γύρω μας, η φύση όμως αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά βρίσκονται παντού.

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα αυτή οι μαθητές ασχολήθηκαν με σπειροειδή σχήματα που μπορούμε να ανακαλύψουμε στη φύση και τον σχεδιασμό τους με λογισμικό εφαρμόζοντας τις γεωμετρικές ιδιότητες. Σπείρα είναι η καμπύλη που γράφει ένα σημείο ενώ περιστρέφεται και απομακρύνεται, προς μια κατεύθυνση, από κάποιο σταθερό σημείο. Σχεδίασαν και μελέτησαν σπείρες σε τρίγωνα, τετράγωνα, την σπείρα του Θεοδώρου, τη σπείρα Baravelle και τη σπείρα Fibonaci.

Σχήμα 2: Η σπείρα του Θεοδώρου.

Οι μαθητές σχεδίασαν σπείρες σε ισόπλευρα τρίγωνα και εντόπισαν την καμπύλη αυτή. Η καμπύλη αυτή προκύπτει σχεδιάζοντας συνεχόμενα ισόπλευρα τρίγωνα, έχοντας ως πλευρά του επόμενου τριγώνου το ύψος (διάμεσος, διχοτόμος) του προηγούμενου.

Αντίστοιχα σχεδίασαν σπείρες σε τετράγωνα και γενικότερα σε κανονικά πολύγωνα. Παρακάτω παρουσιάζουμε την σπείρα Baravelle σε τετράγωνο. Η κατασκευή της προκύπτει από τη δημιουργία συνεχόμενων τετραγώνων στα μέσα του προηγούμενου, εισάγοντας έτσι την έννοια της γεωμετρικής σειράς. Οι μαθητές διερευνούν και ανακαλύπτουν ότι το εμβαδό κάθε επόμενου κανονικού πολυγώνου είναι ίσο με το μισό του προηγούμενου, όπως επίσης και των τριγώνων που σχηματίζουν την σπείρα. Επομένως το εμβαδό της σπείρας που σχηματίζεται προκύπτει από το άθροισμα όλων των τριγώνων. https://www.geogebra.org/m/yufsr4st#chapter/717707.

Σχήμα 3: Η σπείρα Baravelle σε τετράγωνο

Στη συνέχεια δημιουργήθηκαν διεθνείς ομάδες και μαθητές από κάθε ομάδα πρότειναν ασκήσεις προς επίλυση σε άλλες ομάδες. Στόχος της δραστηριότητας ήταν η σύνδεση με το αναλυτικό πρόγραμμα (εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος). Για τις δραστηριότητες αυτές δημιουργήθηκαν tutorials από τους εκπαιδευτικούς και το υλικό τοποθετήθηκε σε ebook και στη σελίδα του οργανισμού Geogebra.

Η επόμενη δραστηριότητα περιείχε την μελέτη της ακολουθίας Fibonacci, μια ακολουθία που την βρίσκουμε παντού στη φύση. Η ακολουθία Fibonacci έχει συνάφεια με την Χρυσή αναλογία ή αλλιώς τον Χρυσό Αριθμό Φ που τον συναντάμε στην αρχιτεκτονική και στη ζωγραφική. Η ακολουθία Fibonacci αποτελείται από τους παρακάτω αριθμούς 0,1,1,2,3,5,8,13,21….. με την ιδιότητα ότι κάθε επόμενος όρος προκύπτει από το άθροισμα των δυο προηγούμενων, δηλαδή, 0 +1 =1, 1+1 = 2, 2 + 1 = 3 κλπ.

Ένα τέτοιο παράδειγμα ανακάλυψαν οι μαθητές στα κουκουνάρια. Συγκεκριμένα, αν μετρήσουμε τους έλικες που περιστρέφονται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού και κατά την αντίστροφη φορά θα ανακαλύψουμε ότι υπάρχει ο συνδυασμός 5-8 , 8-13 κλπ.

Σχήμα 4: Η ακολουθία Fibonacci σε κουκουνάρια

Εφαρμόζεται η ακολουθία αυτή στη γεωμετρία, κατασκευάζοντας τετράγωνα με πλευρές τους παραπάνω αριθμούς που χωρίζοντάς τους με μια καμπύλη, προκύπτει ένα μοτίβο το οποίο βρίσκουμε παντού στη φύση. Οι μαθητές, επίσης, σχεδίασαν με το λογισμικό GeoGebra το Χρυσό ορθογώνιο με βάση την ακολουθία αυτή. Αρχικά σχεδίασαν δυο τετράγωνα με μήκος 1 μονάδα, στη συνέχεια ένα δεύτερο 2 μονάδες κλπ. Το αποτέλεσμα φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Σχήμα 5: Το Χρυσό ορθογώνιο σύμφωνα με την ακολουθία Fibonacci

Μια άλλη σπείρα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι η σπείρα του Θεοδώρου, μια κατασκευή των τετραγωνικών ριζών των θετικών ακεραίων αριθμών. Η κατασκευή της σπείρας του Θεοδώρου ξεκινάει με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με μήκος των κάθετων πλευρών τη μονάδα και εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα μας προκύπτει το μήκος της υποτείνουσας 2. Στην συνέχεια κατασκευάζεται ένα δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει ως μια κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου και η άλλη συνεχίζει να έχει μήκος 1. Το μήκος της υποτείνουσας του δευτέρου τριγώνου είναι 3. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι το ν-ιοστό τρίγωνο έχει υποτείνουσα ν+1.

Στον παρακάτω σύνδεσμο δημιουργίες των μαθητών από τα συνεργαζόμενα σχολεία.

https://padlet.com/mathtravellers2021/sqnvq2c9eoypjpl7

Σχήμα 6: Η σπείρα του Θεοδώρου

Ένα ακόμα ιδιαίτερο μοτίβο που μας εντυπωσιάζει στη φύση είναι τα λεγόμενα Fractals, που βρίσκονται παντού, από τις νιφάδες του χιονιού, στα δέντρα μέχρι και στο ανθρώπινο σώμα. Τα Fractals είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, κάθε τμήμα του οποίου διατηρεί τον ίδιο στατιστικό χαρακτήρα με το σύνολο, δηλαδή μοτίβα που επαναλαμβάνονται σε προοδευτικά μικρότερες κλίμακες. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το τρίγωνο του Sierpinski, μια κατασκευή από ισοσκελή τρίγωνα ή το Πυθαγόρειο δέντρο, κατασκευές πάνω στις οποίες εργάστηκαν οι μαθητές.

Σχήμα 7: Tο τρίγωνο του Sierpinski

Σχήμα 8: Το Πυθαγόρειο δέντρο

Μια άλλη δραστηριότητα σύνδεσης των μαθηματικών με την πραγματική ζωή ήταν η ανακάλυψη των συναρτήσεων. Το υλικό στον σύνδεσμο https://www.geogebra.org/m/uhbbfstc#chapter/896317. Οι μαθητές διερεύνησαν και εντόπισαν σε διάφορες κατασκευές την συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ (1)

Σχήμα 9: Παράδειγμα παραβολής στη πραγματική ζωή

Επίλογος

Συμπερασματικά, δόθηκε η δυνατότητα να εισχωρήσουν οι μαθητές σε ένα πιο αντιληπτό κόσμο των μαθηματικών. Εδραιώνεται η άποψη ότι χρειάζονται αλλαγές στον τρόπο με τον οποίο γίνεται η εκπαιδευτική διαδικασία. Η χρήση νέων τεχνολογιών εκπαιδεύει τον νου και συναρπάζει τους μαθητές, οι οποίοι πλέον επιζητούν κάτι διαφορετικό από την παραδοσιακή διδασκαλία. Το γεγονός ότι εμπλέκονται ενεργά στα παραπάνω έργα και μάλιστα επιθυμούν να συμμετάσχουν με μαθητές από άλλα ευρωπαϊκά κράτη ενθαρρύνει το πνεύμα της συνεργασίας και σίγουρα μας οδηγεί σε ένα μέλλον πιο αισιόδοξο. Ένα μέλλον που στο κέντρο της διδακτικής πράξης βρίσκονται οι αρχές της βιωματικής, διερευνητικής και εν τέλει διαφοροποιημένης μάθησης.

Αναφορές

Camilleri, R. (2016). Global education and intercultural awareness in eTwinning. Cogent Education, 3,1

Gautschi, W. (2010). The spiral of Theodorous, numerical analysis, and special functions. Journal of Computational and Applied Mathematics,4, 1042 – 1052.

Launay, M. (2016). Le grand roman des maths. Paris: Flammarion

Marshall, J. (03/07/2012). What is the Fibonacci Sequence and Why is It Famous? Ανακτήθηκε στις 15 Μάϊου 2023 από τη διεύθυνση https://www.scientificamerican.com/article/what-is-the-fibonacci-sequence/

Papadakis, S. (2017). Creativity and innovation in European education. Ten years eTwinning. Past, present and the future. International Journal of Technology Enhanced Learning, 8, 3-4.

Ευχαριστίες

Το έργο σχεδιάστηκε από τις χώρες Ελλάδα και Μολδαβία, από τους εκπαιδευτικούς Γιολάντα Χριστοπούλου ( 1ο ΕΠΑΛ Αριδαίας «Νίκανδρος Παπαϊωάννου») και Ludmila Cojocari (Gaudeamous High School).

Χώρες που συμμετείχαν:

Baruthane Ortaokkulu – Τουρκία

Osman Nuri Hekimoglou Anatolian High School – Τουρκία

Mustafa Bulbul Secondary School – Τουρκία

Etiler Anatolian High School – Τουρκία

Escola Basica dos 2o ve 3o Ciclos do Canico (madeira Adasi) – Πορτογαλία

Escola Basica Dr. Flavio Goncalves – Πορτογαλία

Agrupamento de Escolas Virginia Moura, Guimaraes - Πορτογαλία

Tehnicka Skola Virovitica – Κροατία

Βyureghavan High School – Armenia

Lyceum of A. Pushkin – Μολδαβία

Waldorf school – Forest Technological High School – Ρουμανία

Virgil Lerunca High School, Ladesti – Ρουμανία

Jean monnet High School – Ρουμανία